RENTREE DE CHAPMAN |
CONTENU : Mis à jour 12 janvier 1999II Notations et fonction de Chapman Figure | Fonction de Chapman | Calcul de la fonction de Chapman Evolution des autres paramètres
NB : le téléchargement regroupe 3 cours sur la rentrée Rentrée d'Allen - Rentrée de Chapman - Déorbitation |
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Vous avez peut être déjà consulté la
théorie d'Allen et êtes au courant de la manœuvre de déorbitation qui précède la traversée des couches atmosphériques terrestres ou éventuellement martienne.Pour avoir quelques idées précises sur l'évolution des paramètres de rentrée, position, vitesse, accélération, traînée,… Chapman, au prix de simplifications bien justifiées, a mis au point une méthode de calcul adaptée aux angles de rentrée réduits ( <6°) et surtout aux rentrées planées utilisant une portance. L'avantage de la méthode est de s'appliquer à des rentrées sur d'autres planètes.
Tout ce cours est fourni avec des données relatives à la planète terre, mais la théorie peut s'adapter à d'autres planètes, notamment Mars qui est candidate à une descente par freinage atmosphérique
1°) Modélisation de la masse volumique de l'air. Une loi exponentielle est adoptée de la forme ci dessous, où Z désigne l'altitude sol et
b une constante:Pour Mars: consulter le
projet de rentrée ou un site adéquat., les constantes ro et b doivent être adaptées2°) La rentrée étant très largement hypersonique, les coefficients aérodynamiques de traînée Cx et de portance Cz sont constants.
3°) La théorie complète celle d'Allen qui n'est valable que pour des angles de rentrée supérieurs à 6°, celle de Chapman impose de petits angles de rentrée inférieurs à 6°.
4°) Contrairement aux calculs d'Allen, la pesanteur est prise en compte mais sa variation en fonction de l'altitude ne l'est pas.
5°) La terre( ou une autre planète) est supposée immobile.
II NOTATIONS ET FONCTION Y(x) DE CHAPMAN :
Nous n'allons pas refaire tous les calculs de Chapman, renvoyant le lecteur aux ouvrages spécialisés, en particulier
Re-entry and Planetary Entry, Physics and technology by W.H.T LOH, SPRINGER- Verlag New-York 1968.Indiquons simplement que Chapman part de la loi fondamentale de la mécanique, en projection sur les axes des coordonnées polaires associées au mouvement.
On note avec en appui la figure:
NB : La théorie faisant- appel à des simplifications, n'est valable que sous la condition :
2°) FONCTION x ---> Y(x) DE CHAPMAN :
Chapman définit une variable x sans dimension et une fonction Y(x) également sans dimension, de la manière suivante
Chapman, après des calculs non explicités, montre que Y(x) vérifie une équation différentielle d'ordre 2 :
b) Conditions initiales et tabulation de Y(x):
Il faut tout d'abord
calculer la manœuvre de déorbitation. Ceci donnera donc xo = Veo cosgeo . De même, avec l'altitude initiale Ze = 80 km( valeur à adapter pour une autre planète), on peut calculer la valeur de Y(xo), et ainsi la dérivée initiale Y'(xo)Les calculs se ramènent alors à une programmation de calculs numériques, fournissant une tabulation de Y(x) et naturellement de sa dérivée Y'(x).
La connaissance de Y(x) et le choix de la finesse permettent le calcul de tous les paramètres de rentrée par :
relation qui montre de manière très explicite, trois termes:
ATTENTION
: g est l'accélération de la gravitation de la planète, donc c'est une valeur à adapter à chaque cas de rentrée.et naturellement, la portance grâce à la finesse.
NB : Il est bien dit la décélération horizontale, c'est à dire la composante orthoradiale de l'accélération, due uniquement à la traînée. D'ailleurs
G = Rxcosg/m.ATTENTION
: g est l'accélération de la gravitation de la planète, donc c'est une valeur à adapter à chaque cas de rentrée.Si l'on veut réellement les 2 composantes de l'accélération, signes compris :
On constatera que la composante horizontale ne diffère de celle plus simple indiquée plus haut que de 10% au maximum, vue la condition imposée par la théorie.
ATTENTION
: g est l'accélération de la gravitation de la planète, donc c'est une valeur à adapter à chaque cas de rentrée.3°) COMMENTAIRES:
Une comparaison avec d'autres calculs non simplifiés, révélera naturellement quelques divergences normales dans les résultats. La théorie de Chapman donne cependant de bons résultats, au prix d'une modélisation simple de l'atmosphère d'une planète.
Guiziou Robert décembre 2001